Demostraciones matemáticas visuales (II) | Combinaciones, trigonometría e inecuaciones

Hoy traigo 3 demostraciones visuales bastante atípicas y aptas para todos, que tienen una demostración visual más que original. Algunas de ellas con gifs matemáticos Y animaciones incluidas.

1. Suma de números y combinaciones


La primera demostración que veremos es : 

Es decir, que la suma de los primeros (n-1) números es igual a las combinaciones de n elementos tomados de 2 en 2. 

Si recordamos, las combinaciones de un conjunto de elementos tomados, en este caso, de 2 en 2, no eran más que todos los posibles grupos de 2 que podemos formar con ese conjunto de elementos, independientemente de su orden. 

En esta animación veremos una demostración muy visual. Formando una pirámide de n pisos, la suma de los elementos de los primeros (n-1) pisos (es decir, nuestro primer miembro de la igualdad), será igual a todas las posibles combinaciones, tomadas de 2 en 2, de los elementos del piso n (es decir, nuestro segundo miembro de la ecuación):  

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Efectivamente, cada elemento de los (n-1) pisos de la pirámide, puede asociarse con una pareja distinta de los elementos del piso n de la pirámide. Ya tenemos, por tanto, demostrada nuestra igualdad.

 

2. Desigualdad entre la media aritmética y la geométrica


La siguiente es una demostración geométricamente muy curiosa. 

Esta desigualdad hace referencia a la conocida como desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica, que afirma que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, y se cumple para cualquier valor de n, que indica el número de elementos: 

Puedes obviar esta expresión y quedarte con el caso que vamos a demostrar a continuación. Vamos a demostrar visualmente esta expresión para el caso en que n=3. Demostraremos, por tanto, que: 

Cada incógnita está elevada al cubo, por tanto, los numeradores de las fracciones, geométricamente, representarán un cubo. Todos ellos están divididos entre 3. Ahora bien, ¿cómo podemos dividir un cubo en 3 partes iguales? Podríamos dividirlo en 3 pirámides iguales, tal que así: 

Fuente: www.3bscientific.es

Por tanto, cada sumando del primer miembro de la igualdad, será una pirámide como esta, pero cada una de distinto tamaño. Podríamos representarlas así: 

El primer miembro de la desigualdad hace referencia al área total de estas tres pirámides representadas.  

Pensemos ahora en el segundo miembro de la desigualdad, el producto xyz. Este producto hace referencia a un prisma de dimensiones xyz. Podemos ver representado este prisma también en la imagen, a través de las líneas discontinuas.  

Y efectivamente, este prisma siempre será menor o igual (en caso de que las tres pirámides sean iguales) que el área de las tres pirámides. Ya tenemos nuestra desigualdad demostrada. 

En nuestro caso la hemos demostrado para n=3. Siguiendo un procedimiento similar, ¿sabrías demostrarla esta desigualdad para n=2? Es decir: 

En este caso es mucho más sencillo. ¿Eres capaz?

 

3. Igualdad trigonométrica con la arcotangente


Por último, demostraremos la siguiente igualdad trigonómetrica:


Pero así de primeras esta expresión puede asustar un poco. Recordemos, ¿qué es la arcotangente? 

La arcotangente es la inversa de la tangente. Se define así:  

Y nos dice, cuanto mide el arco y (en radianes), de un triángulo con tangente alfa (α). Por ejemplo, en un triángulo rectángulo de 45°, su tangente (cateto opuesto entre cateto contiguo) es igual a 1. Por tanto: 

arctan(1) = 45° = 0,78 radianes. 

¿Recordamos lo que era un radián? 

 

Los radianes, como vemos en la animación, no expresan la longitud absoluta de un arco de circunferencia (3cm, por ejemplo), sino la longitud del arco de la circunferencia en función del radio. Por ejemplo, si el arco mide 2 radianes, significa que el arco de la circunferencia medirá una longitud equivalente a 2 radios de la circunferencia.  

Por tanto, gracias a ello, el arco de circunferencia formado por un ángulo determinado medirá los mismos radianes independiente del tamaño de la circunferencia y de su radio. Por ejemplo, en la siguiente imagen, al tratarse del mismo ángulo, los 4 arcos de circunferencia formados medirán los mismos radianes: 

 

Por tanto, ahora sí, teniendo estos conceptos claros, ahora sí, demostraremos que: 

 

Para ello, utilizaremos una cuadrícula de 3×3, en la que también dibujaremos un cuadrado mayor colocado diagonalmente. Y definiremos los siguientes ángulos: 

El ángulo alfa, de color verde, que desconocemos cuánto mide, pertenece a un triángulo rectángulo de 2 unidades de base y 1 unidad de altura, por tanto su tangente será 1/2. La longitud de su arco, en radianes, será por tanto arctan 1/2. 

Por su parte, el ángulo beta, de color azul, que también desconocemos cuánto mide, pertenece a un triángulo rectángulo de 3 unidades y 1 unidad de altura, por tanto su tangente será 1/3. La longitud de su arco, en radianes, será por tanto arctan 1/3. 

Y ya casi tenemos nuestra demostración. La suma de los arcos formados por el ángulo alfa (verde) y beta (azul), será, obviamente, igual al arco formado por la suma de ambos ángulos. 

Y podemos ver en la imagen que la suma de ambos ángulos será igual a un ángulo que pertenece también a un triángulo rectángulo formado por la división de un cuadrado por su diagonal (este ángulo, obviamente será de 45º). Es decir, este triángulo rectángulo tendrá de base y altura 1 unidad, por tanto su tangente será 1/1, o lo que es lo mismo, 1. Y por tanto, la longitud de su arco, en radianes, será: arctan 1. 

En definitiva: 

Esta expresión y la respectiva demostración podríamos generalizarla para la siguiente expresión, siendo n cualquier número natural: 

 

En definitiva, 3 demostraciones bastante atípicas, que visualmente tienen una demostración muy original. Es curioso cómo simples ecuaciones, que a primera vista pueden echar para atrás a cualquiera, luego pueden demostrase de manera tan simple y sencilla.

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