6 juegos matemáticos muy interesantes y su estrategia ganadora

Hoy traigo varios juegos matemáticos, algunos de ellos conocidos y otros no tanto, muy interesantes todos ellos. A primera vista, la mayoría parecen sencillos y fáciles de analizar, pero a la vista de los resultados está que su análisis y la búsqueda de estrategias ganadoras y óptimas es realmente compleja.

1. Hex

El objetivo del juego del Hex, así llamado porque sus casillas son hexágonos, consiste en lograr realizar una fila de fichas de tu propio color que conecte ambos lados del tablero. Se juega con fichas de dos colores, cada jugador tendrá las de un color. Alternativamente, cada jugador irá colocando una ficha de su color (o coloreando las casillas).

En este juego siempre se producirá la victoria de uno de los jugadores, ya que es imposible quedar empate. Es decir, si todas las casillas están coloreadas, siempre existirá una línea de un mismo color que conecte ambos lados. En este vídeo puedes ver explicada la demostración (y también la explicación del juego) de una forma muy sencilla (en inglés, pero no es complicado entenderlo).

David Gale ha demostrado que para todos los tableros de dimensión n·n, el primer jugador tiene estrategia ganadora. Ahora bien, realmente solo se conocen dichas estrategias ganadoras para los tableros de dimensión hasta 9×9. Para tableros superiores se desconoce qué jugador ganaría si jugara óptimamente, por lo que estos tamaños pueden ser adecuados para jugar hasta para los más avanzados.

Parece un juego trivial, pero no lo es. Puedes ver en este artículo la estrategia ganadora para un tablero de 4×4, muy sencilla.

Otra forma de jugar al Hex, especialmente para jugar con papel y bolígrafo es la siguiente. Puedes observar que ambos tableros son esencialmente los mismos. Cada casilla del tablero original correspondería a un vértice.

Dos variantes muy conocidas del juego del Hex son las siguientes:

>Juego Y

En un tablero con forma de triángulo, compuesto con casillas en forma de hexágonos, el objetivo es unir los tres lados del triángulo. Al igual que el Hex, siempre ganará uno de los jugadores. Es decir, si todas las casillas están coloreadas, siempre existirá una línea de un mismo color que conecte los tres lados del triángulo (¿caes ahora en por qué el juego se llama Y?). Puedes ver aquí otra demostración de por qué el juego del Hex o el juego Y no pueden acabar en empate.

> Unlur

En un tablero con forma de hexágono, también compuesto de casillas con forma de hexágono, juegan dos jugadores. Un jugador deberá unir dos de los lados opuestos del hexágono para ganar, mientras que el otro jugador deberá unir tres de los lados (no adyacentes). De esta manera se rompe la simetría del juego.

El juego comenzará de la siguiente manera. Se comienzan colocando, alternativamente uno y otro jugador las fichas de un color (negras, por ejemplo). En el momento en que un jugador considera que las fichas negras son suficientes para contrarrestar la ventaja de las blancas de tener que unir sólo 2 lados, dicho jugador comenzará a jugar con las fichas blancas. De esta manera, aparentemente ninguno de los dos jugadores tiene mayor ventaja que el otro. No he encontrado información sobre cuál de los jugadores podría tener estrategia ganadora en este juego. Algunas estrategias para tener las mayores probabilidad de ganar puedes encontrarlo aquí.

 

2. Brid-it

Es un juego aparentemente muy similar al Hex, pero tiene notables diferencias. El juego consiste en lograr a través de una línea conectar ambos lados de tu mismo color.

Alternativamente, cada jugador escribirá una línea que una dos puntos adyacentes. El juego finalizará una vez un jugador conecte sus dos lados. Al igual que el juego del Hex, este juego tampoco podrá acabar en empate.

En el caso del Bridg-it, a diferencia del Hex, resulta que este juego tiene una estrategia ganadora para el primer jugador muy sencilla y apta para cualquier tablero de nxn.

La estrategia ganadora consiste en lo siguiente. El primer movimiento será el indicado en la imagen a continuación. Posteriormente, si el segundo jugador coloca su segmento de manera que entra en contacto con uno de los extremos de las líneas grises dibujadas, el otro jugador deberá dibujar su segmento uniendo los puntos que harán que este segmento pase a estar en contacto con el otro extremo de la línea gris que había dibujado el jugador anterior. De esta manera siempre ganará el juego el primer jugador.

En la imagen que se muestra a continuación puedes ver el comienzo de una partida. Si las dos primeras jugadas del jugador rojo son las presentadas en la imagen, nuestras respectivas jugadas deberían cortar el extremo de la línea gris con la que ha entrado en contacto la jugada del oponente.

Si el segundo jugador une dos puntos que se encuentran en uno de los extremos (movimiento que no le servirá de nada), y por tanto, dicho segmento dibujado no entrará en contacto con ninguna línea gris, bastará realizar un movimiento en cualquier otra parte del tablero.

 

3. Timbiriche, Cuadrados y puntos, o Dots and Boxes

Este es un juego muy conocido al que probablemente todos hemos jugado alguna vez.

En un tablero de nxn, el objetivo del juego será ir dibujando un jugador y otro alternativamente segmentos que unan dos puntos, hasta lograr completar un cuadrado. Una vez completado el cuadrado, dicho cuadrado se coloreará del color del jugador que haya puesto el último segmento de él, y el jugador que lo ha conseguido jugará de nuevo, escribiendo un nuevo segmento. Ganará la partida el jugador que más cuadrados consiga.

Es un juego que parece trivial, pero que para nada lo es. Que yo sepa, no se conoce ningún tipo de estrategia ganadora, más que para tableros muy simples, debido a la complejidad del juego. Aquí puedes ver el debate sobre la estrategia ganadora para el tablero de 2×2 (es decir, de 2 cuadrados unitarios en cada lado, o lo que es lo mismo, 3 vértices en cada lado -mismo tablero que en la imagen superior-).

Un ejemplo de jugadas que hacen este juego tan interesante. Supongamos que tenemos la siguiente situación (imagen 1).

Podríamos pensar que lo más beneficioso para el jugador que le toca jugar sería completar 4 cuadrados (imagen 2), pero en ese caso, se ve obligado a colocar su última línea en un lugar que permitirá al seguiente jugador ahora completar los 5 cuadrados restantes y ganaría la partida.

La jugada adecuada sería completar únicamente dos cuadrados y colocar una nueva línea en la esquina inferior izquierda (imagen 3), de manera que el siguiente jugador solo podría completar ahora dos cuadrados y su siguiente movimiento nos permitirá a nosotros completar los 5 cuadrados restantes y ganar la partida.

Un tamaño adecuado para jugar a este juego podría ser el de 4×4 ó 5×5.

Asimismo, existe la posibilidad de que jueguen más 2 jugadores, cada uno de ellos utilizando un color para marcar los cuadrados conseguidos.

Lo interesante de este juego también es que se puede jugar en una cuadrícula en la que los puntos formen triángulos/pentágonos/etc. Ganaría el jugador que más triángulos/pentágonos/etc. formara.

Ejemplo de tablero triangular 6x6x6:

También se me ocurre, y creo que sería muy interesante, la posibilidad de jugar a este juego en el espacio (3 dimensiones). El tablero sería un cubo formado por n·n·n cubos unitarios, que podría dibujarse en un papel, y cuyos vértices serían los puntos del tablero, y en los cuales se iría dibujando alternativamente una arista. El jugador que dibujara la última de las 12 aristas de un cubo colorearía dicho cubo de su color y repetiría turno. El objetivo sería conseguir los máximos cubos posibles, ganando el jugador que más cubos consiga.

 

4. Cadenas y monedas (Strings and coins)

Es un juego similar al anterior, que consiste en lo siguiente. Se tiene una cuadrícula de n·n monedas (o vértices), unidas por cuerdas y colgando todas ellas de un nodo común arriba.

Por turnos, cada jugador irá cortando una cuerda. Cuando un corte deja una o varias monedas sueltas, dicha moneda o monedas caerían al suelo, y el jugador obtiene tantos puntos como monedas haya conseguido dejar caer. Gana el jugador que más puntos (monedas) consiga.

Encontré este juego investigando sobre el juego anterior, no pensaba incluirlo debido a la escasa información que he encontrado sobre él, pero me parece muy original. Desconozco si puede tener estrategia ganadora para alguno de los jugadores. No parece muy complicado, si alguien deduce algún tipo de estrategia para alguno de los jugadores puede ponerlo en los comentarios.

 

5. Hip: Evitando cuadrados

El siguiente juego puede jugarse sobre un tablero de ajedrez, o sobre un tablero de dimensiones n·n. Se repartirán un número de fichas igual a las casillas del tablero, siendo la mitad blancas y la mitad negras.

En dicho tablero, existirán muchos posibles cuadrados que pueden formarse de manera que cada casilla sea uno de los vértices del cuadrado. Algunos de ellos, podrían ser, por ejemplo:

Alternativamente, cada jugador irá colocando sus fichas en una casilla sin ocupar, de manera que el objetivo del juego será obligar al rival a realizar un cuadrado con sus fichas. El jugador que lo forme pierde.

En este juego, Robert I. Jewett ha demostrado que el tablero más grande en el que el juego puede terminar en tablas es el de 6×6. En el tablero de orden 7×7 es imposible quedar en tablas, es decir, se formará obligatoriamente algún cuadrado, y por tanto, en cualquier otro tablero de un orden mayor, también será imposible quedar empate (ya que todos los tableros de orden superior contienen dentro de ellos un tablero de orden 7, y por tanto, en esta parte del tablero se podrá formar un cuadrado).

En este juego, para todos los tableros de orden par (mayores que 6×6, si no lo máximo posible a conseguir como hemos dicho, es el empate), el segundo jugador tiene una estrategia ganadora muy sencilla. Basta dividir el tablero en dos mitades iguales a través de una línea vertical u horizontal, y jugar en el cuadrado simétrico al que juegue el otro jugador. Otra posible alternativa sería jugar en el cuadrado que resulta haciendo girar 90º alrededor del centro del tablero el último cuadrado ocupado por el contrario.

Sin embargo, para los tableros de orden impar no se conoce estrategia ganadora, por lo que no se sabe cual de los dos jugadores (primero, o segundo) ganaría si ambos jugaran racionalmente. Por tanto, un buen tablero para jugar partidas interesantes podría ser el de 7×7.

Como curiosidad, el número máximo de cuadrados que pueden formarse en un tablero de n·n viene dado por la siguiente ecuación: (n4-n2)/12.

Fuente: Nuevos pasatiempos matemáticos, Martin Gardner

 

6. Qúods y quásares

El siguiente es un juego inventado por G. Keith Still. Es un juego muy similar al anterior, pero con el objetivo contrario y algunas complicaciones añadidas. Puedes encontrarlo también en el libro Cómo cortar un pastel, de Ian Stewart.

Se juega en un tablero de n·n, en el que se han eliminado las esquinas (dichas casillas serían una posición no válida). A menor dimensión del tablero, menos complejo es el juego. Dos jugadores jugarán con un número de fichas de diferente color (rojo y negro, por ejemplo). Dichas fichas serán los “qúods“.

Alternativamente irán colocando sus fichas, siendo el objetivo lograr formar un cuadrado con las fichas de su color, es decir, colocar sus fichas en cuatro casillas que simulen los vértices de un cuadrado.

Si un jugador logra realizar un cuadrado, dirá “qúod“ y ganará la partida. Si lo forma, pero no se da cuenta, el juego continuará, debiendo esperar a su turno para decirlo y ganar.

Ahora bien, ambos jugadores también tienen otro tipo de fichas, del mismo color para los dos (blancas, por ejemplo), que serán los quásares. Estos únicamente sirven para impedir que el rival forme un cuadrado, y una vez que se coloque quedará fijo en dicha casilla para toda la partida (impidiendo formar los cuadrados que tengan uno de sus vértices en esa casilla). Cada jugador, antes de jugar sus fichas normales (sus “quods”), podrá jugar y colocar en el tablero todos los quásares que desee. (Una vez se le acaben, tendrá más dificultades para defenderse en las futuras rondas).

Una partida podría comenzar de la siguiente manera. Las fichas negras corresponden al primer jugador, y las grises al segundo. Los “quásares” son de color blanco.

Tras tres turnos, ambos jugadores han colocado las 3 primeras fichas y es el turno del jugador de las fichas negras. Debe impedir que las grises formen cuadrado, y para ello coloca un “quásar” en el cuarto vértice que completaría el cuadrado, y posteriormente coloca su “quod”, formando un posible “triple cuadrado” (hay tres posiciones en las formaría un cuadrado en su siguiente turno). Finalmente, en la tercera imagen, vemos cómo el jugador de fichas grises decide colocar dos quásares en dos de esas posiciones, y un “quod” en la tercera. El juego continuaría de la misma manera.

Hay varias posibilidades para jugar y decidir quién gana. Por ejemplo, G. Keith Still proponía jugar en un tablero de 11×11, con 20 “quods” y 6 “quásares” por cada jugador. De manera que una vez colocadas las fichas, si un jugador tiene la posibilidad de ganar colocando una pieza adicional más, ganaría la partida. Si no es el caso, ganará el jugador que hubiera utilizado menos “quásares”. Si no, la partida terminará en empate.

Otra alternativa sería jugar con sólo 6 “quods” y 6 “quásares”, y una vez colocados los “quods”, estos podrán ir cambiándose de sitio. Los “quásares”, una vez colocados, permanecerán fijos.

Otra posibilidad es jugar con “quods” hasta completar el tablero, y un número proporcional de quásares.

En este juego también podríamos jugar con muchas variantes. Por ejemplo:

  • Por parejas: cada pareja jugará con las fichas de un color, sentados en cuadrado frente a frente cada pareja y sin la posibilidad de hablar entre ellos (deberán “intuir” cuál es la estrategia de su compañero).
  • Más de 2 jugadores: Se juegan con tantos colores para los “quods” como personas, y un color adicional más para los quásares. (El número de “quásares” por jugador también deberá disminuir).
  • Mayor complicación: Un jugador se enfrentará a otro, siguiendo las mismas reglas, pero ahora dispondrán ambos de un número de “quods” de dos colores distintos, debiendo colocar cada jugador en cada turno un quod de cada color. El objetivo será formar un cuadrado del mismo color.

Fuente: Cómo cortar un pastel, Ian Stewart

 

¿Conoces algún juego similar más? Al final, son juegos que también pueden jugarse con papel y boli, y muy interesantes desde el punto de vista lógico y matemático.

Dentro de un tiempo publicaré la segunda y tercera parte de esta entrada de juegos matemáticos y de estrategia.

 

 


Fuentes:
Cómo cortar un pastel, Ian Stewart
Nuevos pasatiempos matemáticos, Martin Gardner
Modificación del juego del Hex y su aplicación al teorema del punto fijo de Brouwer
Imágenes: Wikipedia

 

 

 

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