¿Cuál es la probabilidad de que 2 cuerdas aleatorias de una circunferencia se corten? ¿Y que 3 cuerdas formen un triángulo?

A primera vista puede parecer que es un problema complicado, pero la verdad es que es un problema muy curioso por la sencillez con la que se puede calcular.

Sabemos que la cuerda de una circunferencia es toda recta que une dos puntos de la circunferencia.

Por tanto, la probabilidad de que dos cuerdas aleatorias se crucen la podemos hallar de una manera muy sencilla sin hacer ningún tipo de cálculo complicado, simplemente pensando.

Para trazar una cuerda, deberemos elegir dos puntos de la circunferencia. De igual forma, para trazar dos cuerdas, deberemos elegir cuatro puntos en total. Se formen las cuerdas que se formen, siempre estarán formadas por cuatro puntos.

Por ejemplo, elegimos las cuerdas aleatoriamente, y aún sin saber cuáles son las cuerdas formadas, vemos que se han formado los siguientes 4 puntos de la circunferencia (A, B, C y D).

Vemos que en total, existen 3 posibles combinaciones de unir esos puntos formando las dos cuerdas. Y en sólo una de ellas las cuerdas se cruzan (color verde). Si lo piensas, independientemente de dónde se encuentren esos puntos, las posibles combinaciones que se pueden obtener siempre serán las mismas, 3, y en sólo una de ellas las cuerdas se cruzarán.

Por tanto, la probabilidad de que dos cuerdas aleatorias de una circunferencia se crucen, será la misma probabilidad de que 4 puntos aleatorios de la circunferencia estén unidos de manera que formen dos cuerdas que se cruzan, ya que estas dos cuerdas siempre estarán formadas por esos 4 puntos.

Y hemos visto que hay 3 posibles combinaciones, y en sólo una de ellas las cuerdas se cruzan, por tanto, la probabilidad será: ¡1/3!

Un problema que a primera vista parecía muy complicado vemos que pensando un poco puede resolverse de manera muy simple.

Más difícil todavía, ¿cuál es la probabilidad de que 3 cuerdas aleatorias de una circunferencia formen un triángulo?

Tres cuerdas estarán formadas por 6 puntos de la circunferencia, por tanto una posibilidad sería dibujar todas las posibles combinaciones que tienen dichos puntos de unirse, y ver en cuántas de ellas forman un triángulo.

Pero hay una manera aún más fácil de verlo. Las cuerdas estarán formadas por 6 puntos aleatorios de la circunferencia, por lo tanto comprobaremos en qué situaciones formarán un triángulo. Para empezar, una vez obtenidos los 6 puntos, cada punto deberá estar unido obligatoriamente a otro punto para formar las 3 cuerdas. Por tanto elegiremos un punto aleatorio, por ejemplo el punto F.

Veremos que si un punto, en este caso tomaremos el punto F, forma una cuerda (línea amarilla) con un punto adyacente a él (es decir, se formaría la cuerda F-E o F-A), será imposible que se forme el triángulo. En color rojo, azul y verde se encuentran las dos cuerdas restantes que podrían formarse si una de las cuerdas formadas fuera la cuerda amarilla:

Veremos también que si un punto, tomaremos de nuevo el punto F, forma una cuerda con el punto siguiente al punto adyacente (es decir, se formaría la cuerda F-D, o la F-B), tampoco sería posible formar el triángulo:

Por último, queda la opción de que un punto forme la cuerda con el punto que se encuentra “en frente”, es decir, que está separado a dos puntos de distancia tanto por la derecha que por la izquierda (si continuamos tomando de ejemplo el punto F, se formaría la cuerda F-C).

En este caso, tendríamos las siguientes posibilidades:

Vemos que en este caso sí se podría formar el triángulo, siempre y cuando las dos cuerdas restantes se crucen (cuerdas verdes). Vemos además, que en este caso cada cuerda está unida con el punto que se encuentra “en frente” de él (es decir, separado a dos puntos de distancia tanto por la derecha que por la izquierda).

Ya hemos resuelto prácticamente el problema. Si escogemos un punto, el punto F puede formar la cuerda con 5 puntos diferentes. La única opción válida es por tanto que forme la cuerda con el punto “de enfrente”, el punto C en este caso. Si hay 5 puntos y sólo 1 es válido, la probabilidad será de 1/5.

Una vez formada esta cuerda, pueden existir tres posibilidades distintas (aquí llegamos al problema de dos cuerdas inicial), de las cuales sólo una es válida (ambas cuerdas deben cruzarse). La probabilidad de este suceso será por tanto 1/3 (vemos que llegamos a la misma conclusión en el problema anterior).

La probabilidad total será por tanto (1/5)*(1/3)=1/15.

¡1/15! Si elegimos por tanto 3 cuerdas aleatorias de una circunferencia, tan sólo 1 de cada 15 veces dichas cuerdas formarán un triángulo.

(Nota: hemos supuesto que la probabilidad de que 3 cuerdas se corten en un solo punto exactamente es 0, por lo que no hemos tomado en cuenta esta opción).

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