3 demostraciones matemáticas muy visuales

Si a cualquier persona le preguntaran: ¿cuál es el valor de la siguiente serie convergente?:

Probablemente, la mayoría probablemente no sabría muy bien ni de qué le están hablando. Pero en este caso, una vez explicado,  aun para alguien que tenga poca idea de matemáticas, vamos a ver que es muy sencillo entender qué significa este término y cuál es el resultado.

Para empezar, la anterior expresión, que a primera vista parece muy complicada, hace referencia a una serie. Una serie es la suma de una sucesión, es decir, la suma de un conjunto de términos.

El signo ∑ es el sumatorio, y simplemente indica que se deben sumar todos los términos que se forman sustituyendo en la expresión que se encuentra a continuación, el valor n por los números que van desde n=1 hasta n=infinito (1, 2, 3, 4, …, ∞) ¿Hasta infinito? Sí, ahora hablamos de esto último.

Es decir, si sustituimos en 1/2n, comenzando en n=1, el primer término será 1/41, el segundo será 1/42, y así indefinidamente. Resultando finalmente la siguiente expresión, que realmente nunca acabará, pues n debe llegar a ser infinito:

 

1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + …

 

El término inicial es exactamente lo mismo que esta serie. Y ahora, quizá puedas pensar que los matemáticos se complican mucho la vida, pero esto es así porque es necesario establecer un conjunto de normas para expresar las matemáticas. Y el término inicial es mucho más conciso.

Ahora, a primera vista, lo primero que se nos podría venir a la mente, es que si es una serie, que va añadiendo términos, y no acaba nunca, la suma de esa serie estará incrementándose siempre, y por tanto, el resultado también será infinito. Pero esto no siempre tiene por qué ser así.

La pregunta inicial, era: ¿cuál es el valor de la siguiente serie convergente? Ya sabemos qué es una serie. Bien, pues ahora veremos que existen dos tipos de series, las series convergentes y las series divergentes.

Las series convergentes son las series cuya suma es número finito. Así es, existen series con infinitos términos cuya suma es número finito (sí, léelo despacio y un par de veces), y se llaman así, series convergentes.

Las series divergentes, por su parte, son las series cuya suma es el infinito (ya sea positivo o negativo), es decir, su valor se va haciendo cada vez más y más mayor (o más y más menor).

En el caso de nuestra serie, podemos observar cómo siempre se van sumando términos, pero estos son cada vez más pequeños. Y ahora sí, si representamos dicha serie en un cuadrado cuya área sea la unidad, podremos ver lo siguiente:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1

¡Podemos ver cómo la suma de los infinitos de la suma finalmente sería igual a 1! Si observamos bien, el primer término es 1/2, por lo que el cuadrado se divide en dos partes iguales. El segundo término es 1/4, que es la mitad del 1/2 resultante de la división anterior, de igual forma se obtiene 1/8, y así sucesivamente.

Si siguiéramos dividiendo el cuadrado, podemos ver cómo los cuadrados se hacen cada vez más pequeños, y como cada término posterior tiene que estar contenido en la parte que ha resultado del término anterior, la suma nunca excederá del área del cuadrado. Si se continúa dividiendo el cuadrado infinitamente, el cuadrado se colorearía por completo, ¡así que el resultado será 1!

Supongamos otra serie de las mismas características:

Esta serie hace referencia a la serie siguiente, que representada de igual forma en un cuadrado de área la unidad, obtendríamos la siguiente representación:

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + … = 1/2

Podemos observar cómo el primer término es 1/3, y para ello se divide el cuadrado en 3 partes. Posteriormente se obtiene 1/9, que es 1/3 de una de las partes de 1/3, es decir, lo mismo que si dividiéramos el cuadrado en 9 partes y cogiéramos una, luego 1/27, que es 1/3 de 1/9, y así sucesivamente.

Si dividimos el cuadrado en dos partes iguales por su diagonal, podemos observar cómo las partes que van quedando libres en la parte superior bajo la diagonal, se completan exactamente con las partes que sobresalen de la diagonal en la parte de abajo. Y esto sucede sucede continuamente. Por tanto, vemos muy claramente que el valor de esta serie ¡es 1/2!

 

Y una serie más también muy similar:

Esta serie hace referencia a la serie siguiente, que representada de igual forma en un cuadrado de área la unidad, obtendríamos la siguiente representación:

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … = 1/3

¡El valor de la suma de los infinitos términos de la serie es 1/3! Si te fijas bien, el primer término es 1/4, y para ello, divide el cuadrilátero en cuatro partes iguales, sumando la parte verde. El segundo término es 1/16, que es igual a 1/4 del 1/4 resultante del término anterior, y así sucesivamente. Es decir, el cuadrado quedaría dividido en infinitas figuras de tetris similares a estas, cada vez más pequeñas.

 

En el espacio cuadrangular que deja cada una, se añadiría la siguiente. El cuadrado, por tanto, estaría formado por un número infinito de piezas de tetris contenidas en él. ¡Y podemos observar que de cada pieza obtenemos 1/3! Como todas ellas están dentro del cuadrado, la suma final de los infinitos términos de la serie será 1/3.

Vemos que estas representaciones han sido obtenidas con las series 1/2n, 1/3y 1/4n, es decir, series de la forma 1/an, siendo n un número natural. Quizá, sea posible obtener, representándolas de igual modo, las demostraciones matemáticas de algunas de las series posteriores.

En definitiva, a primera vista y en papel, las matemáticas pueden parecer complejas, pero vistas así, cambian totalmente la perspectiva. Y quizá esa es su grandeza.

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