Jugando con las probabilidades: La paradoja del ascensor

Hoy vamos a ver la paradoja del ascensor (o de los ascensores, más bien), un problema sobre probabilidad no tan intuitivo como podría parecer en un principio. La verdad es que es un problema muy curioso.

Supongamos que estamos en un bloque de x plantas, con un solo ascensor. Dicho ascensor se encontrará realizando constantemente un recorrido de subida y bajada, desde la planta baja hasta la última planta y viceversa, tardando el mismo tiempo en cambiar de planta. No es necesario llamar al ascensor, pues este seguirá su recorrido sin parar, simplemente deberemos esperarlo hasta que llegue.

En el momento que nos situemos a esperar el ascensor, éste se encontrará en un punto aleatorio de su recorrido, y continuará dicho recorrido hasta que éste coincida con la planta en la que estamos, momento en el que parará. ¿Cuál será la probabilidad en función del número de plantas del bloque y de la planta desde la que se espere el ascensor, de que en el momento de llegar a la planta este se encuentra bajando o subiendo?

Bien, con un ascensor en el bloque, podemos deducir fácilmente que si a en el momento en el que comenzamos a esperar el ascensor este se encuentra en una planta superior a la nuestra, lo recibiremos bajando. Ya que, si se encontraba en su recorrido de bajada, llegará bajando. Y si se encontraba en el recorrido de subida, llegará a la última planta, y comenzará a bajar de nuevo hasta llegar a nuestra planta. Y si se encuentra en una planta inferior a la nuestra, éste siempre llegará subiendo, por la misma razón.

Por tanto, cuanto más alta sea la planta en la que nos encontramos, más probabilidades habrá de recibir el ascensor subiendo. Y cuanto más baja, más probabilidad de recibirlo bajando.

Por ejemplo, veamos el número de intercambios de planta que deberá realizar el ascensor. El trayecto del piso 1 al piso 2 sería un intercambio, del piso 2 al piso 3 otro, etc., hasta llegar a la última planta. Y para bajar exactamente igual. Por ejemplo, en un piso de 7 plantas, tendremos los siguientes intercambios entre plantas:

El número de intercambios entre plantas podremos hallarlo fácilmente restando uno al número de plantas y multiplicando el número resultante por 2, ya que hay los mismos intercambios de subida que de bajada.

Y ahora establezcamos el número de planta en la que nos encontramos. Suponiendo un edificio con al menos 2 plantas, la probabilidad de recibir el ascensor subiendo, y bajando, será:

Como los intercambios entre planta son los mismos para subir que para bajar, las fracciones se simplificarían y podríamos utilizar en estas operaciones únicamente los espacios entre planta. (Cada espacio entre planta tendría un intercambio de subida y uno de bajada)

Por ejemplo, supongamos el piso de 7 plantas de la imagen anterior. Si nos encontramos en la planta 2, habrá 5 plantas por encima de nosotros, y por tanto 5 intercambios de plantas de subida y 5 intercambios de plantas de bajada entre las que podrá estar el ascensor. La probabilidad de recibirlo bajando será, por tanto: 5/6. Asimismo, habrá solo una sola planta por debajo, con un recorrido de bajada y otro de subida. Por tanto, la probabilidad de recibir el ascensor subiendo será de 1/6.

 

La paradoja del ascensor

Ahora bien, la paradoja del ascensor tiene lugar a continuación. Supongamos que en el bloque hay más de un ascensor. Supongamos que ahora hay n ascensores (para seguir mejor el problema puedes imaginar que n=2). Tomemos el ejemplo anterior, un piso de 7 plantas, y nos encontramos en la planta 6. ¿Cuál será la probabilidad de que el primer ascensor en llegar se encuentra bajando? ¿y subiendo?

A primera vista, podría pensarse que las probabilidades son las mismas, pero curiosamente no lo son. Veamos.

Bien, en primer lugar definiremos una parte del recorrido como “zona neutra”. En dicha zona, la probabilidad de recibir subiendo el ascensor y la probabilidad de recibirlo bajando deberá ser la misma: ambas probabilidades serán 1/2.

Por ejemplo, en el caso de nuestro ejemplo anterior de 7 plantas en la que nos encontrábamos en la planta 2, la “zona neutra” será el recorrido que desciende desde la planta 4 hasta la planta 1, y posteriormente sube hasta nuestra planta, la planta 2:

Como vemos en la imagen, la “zona neutra”, correspondiente a las flechas azules se compone de 4 intercambios de planta. Dos de ellos están por encima de nuestra planta, y dos por debajo, por tanto si el ascensor se encuentra en dicha “zona neutra” la probabilidad de recibirlo bajando, y de recibirlo subiendo, será la misma: 1/2.

En este caso, dicha zona neutra comprende 1/3 del recorrido del ascensor (lo obtenemos fácilmente dividiendo el número de trayectos que comprende la zona neutra entre el número de trayectos totales).

Una vez definida la “zona neutra” (que será diferente dependiendo del número de plantas del bloque), siempre distinguiremos dos casos cuando vayamos a coger el ascensor. En nuestro caso del bloque de 7 plantas, serán:

1.- Ninguno de los ascensores se encuentra en la “zona neutra”. Como la zona neutra en nuestro ejemplo comprende 1/3 del recorrido del ascensor, la probabilidad de que un ascensor NO se encuentre en esta zona será 1 – 1/3. Y por tanto, la probabilidad de que n ascensores NO se encuentren en esta zona será (1 – 1/3)n.

2.- Al menos uno (es decir, uno o más) de los ascensores se encuentra en la “zona neutra”. Este suceso es el suceso contrario al anterior. La probabilidad de este suceso será por tanto 1 – [Probabilidad de que ninguno se encuentre en la “zona neutra”]. Es decir: 1 – (1 – 1/3)n.


Vemos que la suma de las probabilidades de ambos casos es 1. Ya que o ninguno de los ascensores se encuentra en la zona neutra, o al menos 1 (es decir, uno o más) se encuentran en dicha zona. No hay más opciones posibles.

A partir de estos dos casos posibles, hallaremos a continuación la probabilidad de recibir el ascensor bajando, suponiendo que nos encontrábamos en la segunda planta.

1.- Si nos encontramos en el caso 1 (ninguno de los ascensores se encuentra en la “zona neutra”), el primer ascensor que se detenga en nuestra planta será bajando, ya que todos los intercambios entre plantas posibles en los que se puede encontrar el ascensor estarán por encima de nosotros.

2.- Si nos encontramos en el caso 2 (al menos uno de los ascensores se encuentra en la “zona neutra”), la probabilidad de que el primer ascensor que llegue sea bajando será 1/2. El resto de ascensores que se encuentren fuera de esta zona no nos preocupan, puesto que tardarán más en llegar (puedes verlo fácilmente en la imagen).


Por tanto, la probabilidad de recibir el ascensor bajando será la suma de la probabilidad del suceso 1 (en este caso el ascensor siempre estará bajando) y la probabilidad del suceso 2 multiplicada por 1/2 (ya que, en este caso, el ascensor sólo estará bajando la mitad de las veces). Por tanto, la probabilidad de recibir el ascensor bajando será

(1 – 1/3)n + (1/2)* 1 – (1 – 1/3)n = (1/2) + (1/2)* (1 – 1/3)n

Si recordamos, la probabilidad de recibir el ascensor bajando, cuando solamente había un ascensor (n=1), era 5/6 = 0.833

Ahora, para el caso de que hubiera 2 ascensores, es decir, para n=2, en nuestro ejemplo anterior (bloque de 7 plantas, estando nosotros en la segunda planta) la probabilidad de recibir el ascensor bajando sería la siguiente:

1/2 + 1/2*(2/3)2 = 12/18 = 0.666

Por tanto, las probabilidades de recibir un ascensor bajando habrían disminuido, y, por tanto, las probabilidades de recibir un ascensor subiendo habrían aumentado, ya que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1.

A medida que aumenta el número de ascensores, podríamos comprobar cómo las probabilidades de recibir el ascensor bajando o subiendo van acercándose cada vez más a ½.

Es decir:

 

En definitiva, un problema muy poco intuitivo y con un resultado más que sorprendente, y así explicado espero que apto para prácticamente todos.


Fuentes:
“Puzzle-math”, George Gamow y Marvin Stern
“Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas”, Martin Gardner 

 

 

 

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