Un problema muy curioso para pensar un poco: sobre 2 ruedas

He aquí un problema muy interesante.

En ocasiones, encontramos problemas a los que parece que le faltan datos. Pero en este caso, la información que nos proporciona el enunciado es suficiente. Simplemente hay que pensar un poco más para darse cuenta de por qué en este caso, dicha información es suficiente.

Supongamos que tenemos dos ruedas dentadas como se ven en la imagen. La rueda grande gira en el sentido de las agujas del reloj, y por tanto, hará girar a la rueda pequeña en sentido contrario. La pregunta es: ¿Cuántas vueltas habrá dado la rueda pequeña en el momento en que ambas flechas vuelvan a coincidir?

 

Pista: El número 23 no es un número cualquiera.

Inténtalo resolver sabiendo eso, y no sigas leyendo.

 

Solución:

Así es, el 23 es un número primo. Ahí está la clave del problema. Como no tendrá divisores más que el 1 y el propio 23, el número de vueltas que deberá dar la rueda pequeña hasta coincidir de nuevo será 23.

 

Si no lo ves, vamos a explicarlo paso por paso.

Si representamos el recorrido de las ruedas como una línea plana, sería así:

La línea roja marca la flecha roja de la rueda grande, y la línea verde marca la flecha verde de la rueda pequeña. Bien, sabemos que ambas flechas deben coincidir, por tanto, viendo la imagen es evidente que el número de dientes que recorre la rueda grande, y el número de dientes que recorre la rueda pequeña en el momento en que coincidan, debe ser el mismo. Y por tanto, en el momento en que coincidan, el número de vueltas que de la rueda grande debe ser divisible entre el número de vueltas que de la pequeña.

Por tanto, pensémoslo así:

El número de dientes recorridos por ambas ruedas debe ser igual. La rueda grande va aumentando su cantidad de dientes recorridos en 23. En la primera vuelta recorrerá 23*1, en la segunda 23*2, en la tercera 23*3, etc., siendo el segundo factor de la multiplicación, en rojo, el número de vueltas. Estamos obteniendo los múltiplos de 23.

Por su parte, siendo x el número de dientes de la rueda pequeña, la cantidad de dientes recorridos por la rueda pequeña va aumentando en una cantidad x. En la primera vuelta recorrerá x*1, en la segunda x*2, en la tercera x*3, etc., siendo de igual forma el segundo factor de la multiplicación, en verde, el número de vueltas. Estamos obteniendo los múltiplos de x.

En el momento en que ambos números sean iguales, los dos estarán formados por la misma descomposición de factores primos.

Bien, sabemos que 23 es un número primo, por tanto, no puede descomponerse en ningún factor primo más que el 1 y el propio número 23, por tanto, 23 será indudablemente uno de los factores del número de dientes recorridos por ambas ruedas.

Y si nos fijamos en la cantidad de dientes recorridos por la rueda pequeña, este siempre contiene el número x (en la primera vuelta recorrerá x*1, en la segunda x*2, en la tercera x*3, etc.), que sabemos que no es divisor de 23 al ser este un número primo, y ser x menor que 23. Por tanto, ¡x también será indudablemente uno de los factores del número de dientes recorridos por ambas ruedas!

¿Cuándo coincidirán entonces ambas ruedas? Con estos datos, si multiplicamos ambos factores obtenidos, 23 y x, que deberán ser sí o sí factores del número de dientes recorridos, vemos que el número obtenido ya será múltiplo del número de dientes recorridos por ambas ruedas, por tanto el primer momento en el que coinciden será en el momento en el que se recorran un número de dientes igual a x*23. Podemos ver, que en este caso, 23 es el número de vueltas de la rueda pequeña (en la primera vuelta recorrerá x*1, en la segunda x*2, etc., en la vuelta 23 recorrerá por tanto x*23). ¡23 es por tanto el número de vueltas que dará la rueda pequeña antes de coincidir con la grande!

Ya tenemos la solución al problema.

Además, si nos fijamos, podemos observar también que dicho número también contiene el número de vueltas de la rueda grande. El número es 23*x, siendo por tanto x el número de vueltas de la rueda grande (en la primera vuelta recorrerá 23*1, en la segunda 23*2, en la tercera 23*3, etc., en la vuelta x recorrerá por tanto 23*x).

Básicamente, lo que hemos hecho ha sido calcular el mínimo común múltiplo de 23 y x para hallar el número de dientes recorridos por ambas ruedas, que debe ser el mismo, y luego dividir dicho número entre el número de dientes de cada rueda para hallar el número de vueltas.

 

En definitiva, un problema que a primera vista parecía que no daba todos los datos suficientes, vemos como, pensando un poco, todos los datos necesarios estaban en el enunciado. Sólo había que darse cuenta que 23 era un número primo.

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