¿Qué son realmente las derivadas y para qué sirven? | Interpretación geométrica y entendible para todos

Muchas veces aprendemos a resolver problemas mecánicamente y no sabemos realmente por qué seguimos los pasos que seguimos. Simplemente aprendemos qué pasos debemos seguir y no nos planteamos el porqué. Vamos a ver gráficamente qué es realmente la derivada, y por qué es muy útil en problemas más que frecuentes.

Empecemos por el principio, definiendo un concepto matemático muy importante que probablemente ya conocemos todos: la pendiente. Si tenemos dos variables, x e y, la pendiente nos dice cuánto varía la variable y por cada variación de la variable x.

Pendiente = [cantidad en que varía x] / [cantidad en que varía y]

Es un concepto que se puede aplicar en multitud de campos.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una función que nos indica la cantidad de unidades que venderíamos de un producto (variable y) en función del precio en euros de dicho producto (variable x). Determinar la pendiente de esta función nos permitirá saber cuántas unidades adicionales del producto venderemos si descendemos el precio en una determinada cantidad. Por ejemplo, por cada 1 euro que descienda el precio (variable x), aumentarán en 10 las unidades vendidas (variable y). O lo que es lo mismo, para vender una unidad de producto más (variable y), el precio deberá ser una décima parte más pequeño. La pendiente sería 1/10.

Si la función que queremos estudiar es lineal, como podría tratarse en el caso del ejemplo que acabamos de poner, no hay ningún tipo de problema para calcular la pendiente, pues es constante: es la misma en todos los puntos.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente función lineal, definida sólo en los números positivos:  número de cenas al año de los estudiantes de una clase (variable x) en función de la media de sus notas (variable y). (Sí, son unos estudiantes muy fiesteros):

 

Calcular la pendiente de esta función es muy sencillo. Utilizando la fórmula anterior podemos llegar a la conclusión que la pendiente, en cualquier punto, es 1/2. Es decir, por cada punto que aumente su nota, hacen dos cenas más al año (ya ves, la vida son dos días!).

Ahora bien, en la vida real sabemos que no todas las funciones tienen esta simpleza. Por ejemplo, si estudiásemos la relación entre el consumo de gasolina de un coche en función de la velocidad a la que va, veríamos que este no aumenta linealmente según la velocidad, sino que aumenta exponencialmente (a mayor velocidad, muchísimo mayor consumo de gasolina). Y conocemos multitud de ejemplos más.

Por ejemplo, imaginemos que tenemos la siguiente función, polinómica de tercer grado. En este caso, la pendiente no es igual en todos los puntos, sino que varía constantemente. Imagina que fuera la bajada de una montaña, ¿Cuál sería la pendiente de esta función (o de la supuesta montaña) en un determinado punto?

 

En este caso, vemos que no sería tan fácil determinarla, porque en cada punto es diferente. Matemáticamente, sabemos que la pendiente de esta función (o esta supuesta montaña) en un punto determinado sería la pendiente de la recta tangente a la función en ese determinado punto.  ¿Qué? ¿Cómo? ¿Por qué? ¿y cómo sería esa recta?

Bien, es muy sencillo. En primer lugar, vamos a entender qué es la recta tangente de la siguiente manera. Imaginemos que vamos conduciendo un coche Fórmula1 por la función y queremos hallar la dirección que mantiene el coche exactamente en cada momento. Al ser una función no lineal, el coche está constantemente moviendo el volante para girar poco a poco, por tanto, su dirección será diferente en cada punto. Supongamos que un determinado punto, a nuestra elección, el volante y las ruedas de nuestro coche dejan de funcionar y éste sale disparado de frente.  En ese mismo instante, en el que el coche aún se encuentra en un determinado punto de la función, saldrá de la función y continuará su camino en línea recta, dicha línea recta será la recta tangente a ese punto. Por tanto, la pendiente de esa línea recta es la pendiente o inclinación que mantenía el coche en ese determinado momento, y por tanto esa es la pendiente de la función en ese punto determinado.

Por tanto, para hallar la pendiente de esa recta, deberemos conocer su ecuación. Pero únicamente conocemos un punto de la recta. Si conociéramos otro punto más, hallaríamos fácilmente la ecuación de la recta y podríamos calcular su pendiente de forma muy sencilla.

¿Qué podemos hacer?

Podemos elegir dos puntos de la función inicial, unirlos, y mediante la fórmula anterior calcular su pendiente. Como podemos comprobar, no será la pendiente exacta, pero al menos tendremos una aproximación. Por, ejemplo, queremos calcular la pendiente de la función original en el punto -3. Dibujamos la recta tangente en ese punto (recta morada).

Sólo conocemos un punto de esa recta tangente, común también en la función polinómica (función rosa en la imagen): el punto -3. Por tanto, a partir de él, escogeremos otro punto más de la función polinómica, trazando una recta (r1), cuya ecuación, al contener dos puntos conocidos, sí podríamos hallar, y por tanto calcular su pendiente.

Vemos que la pendiente de esta recta creada (r1) no es la pendiente exacta que buscamos, pero se acerca. Si trazamos una nueva recta (r2) eligiendo un nuevo punto más cercano, veremos que la pendiente de esta nueva recta se acerca más a la pendiente de la recta tangente que buscamos. Si continuamos eligiendo un punto cada vez más cercano (r3), vemos cómo la recta va acercándose cada vez más. Ya prácticamente lo tenemos. Sabemos que si pudiéramos continuar ese proceso de manera continua, daríamos con la ecuación de la recta que buscamos y podríamos hallar fácilmente la pendiente, mediante la fórmula que expusimos al principio.

Este proceso mediante el cual hallamos la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, es… sí, la derivada de la función en dicho punto.

Fíjate en el proceso que hemos seguido para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva. Si nos fijamos en los puntos de las rectas azules que hemos creado para irnos aproximando hasta la recta real cuya pendiente es la que queremos conocer, tendríamos un gráfico similar al siguiente:

Las pendientes de las rectas creadas las hallamos siguiendo el mismo proceso descrito al principio de la entrada. Conocemos dos puntos, por tanto, utilizando la fórmula de la pendiente, tendremos:

Esta expresión, como vemos, ya va acercándose a la definición de la derivada. Como hemos explicado antes, para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto determinado, no basta únicamente con elegir 2 puntos de la función polinómica y calcular la pendiente de la recta que forman (r1), sino que  es necesario que el segundo punto elegido, vaya acercándose cada vez más al primero (siguiendo el sentido de la flecha inferior de la gráfica), y que el espacio h, vaya reduciéndose cada vez más.

Esto lo conseguimos mediante el límite cuando h tiende a 0. Por tanto, únicamente añadiendo el concepto de límite (ahora recordamos este concepto), tenemos la definición formal derivada:

El límite de esta función cuando h tiende a 0, básicamente nos permite obtener el resultado que daría esta función si en ella sustituyéramos h por un numero lo más cercano a 0 posible. Los números son infinitos, por lo que si pensamos en el número más cercano a 0 que conozcamos, por ejemplo, 0.000000000000000000000000000001 (o con mil ceros más antes del 1), siempre podremos encontrar un número menor, añadiendo un cero más antes del 1.

El resultado del límite cuando h tiende a 0, por tanto, nos dice cuál sería el resultado de la operación si pudiéramos sustituir en la función h por ese número infinitamente pequeño, casi cero.

Ojo, la derivada no es la ecuación de la recta tangente, sino la pendiente, un sólo número. Obviamente una vez conocidos el punto y la pendiente (es decir, la derivada de la función en ese punto), sí podríamos hallar la ecuación de la recta tangente, aunque esta ecuación, si ya conocemos la pendiente, no la necesitamos.

 

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, Y MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN

Por tanto, la función de la derivada nos indicará la pendiente de la recta tangente. Recordemos cuando la pendiente es positiva y negativa:

Fuente: www.montereyinstitute.org

En valor absoluto, cuanto más vertical sea la recta, más grande será la pendiente, y cuanto más horizontal, más pequeña.

Veamos por tanto gráficamente la función polinómica de tercer grado f(x) de la que hablamos al comienzo de la entrada (y algunas de sus rectas tangentes representadas), y la función de su derivada:

Entendiendo la gráfica


Si observamos la gráfica y observamos la forma de la función f(x), podemos comprobar como para cada punto de la función f(x) le corresponde otro único punto de la función f’(x), que va indicando la pendiente de la recta tangente de la función f(x) en cada punto (rectas verdes). Al comienzo de la función, f(x) desciende muy rápidamente y de forma muy radical, es decir, tiene una pendiente negativa muy grande. Vemos en la función f’(x) que efectivamente así es, comienza con un número negativo muy grande, y va poco a poco disminuyendo, ya que la función f(x) va teniendo una pendiente cada vez menor.

Hasta llegar a 0 en el primer punto azul, donde la recta tangente, dibujada en verde, es horizontal. Si observamos en la función derivada el punto que corresponde a ese punto azul en el eje y, vemos que, efectivamente, ¡es 0! En el segundo punto azul también sucede lo mismo, la recta tangente de f(x) en ese punto es horizontal, por tanto la pendiente, indicada en la función f’(x), efectivamente también es 0 (corta al eje x). Los máximos y mínimos de una función siempre tendrán pendiente 0, ya que la función pasa de ser creciente a decreciente, por tanto, en dichos puntos, f’(x) siempre deberá ser igual a 0 (ojo, lo contrario no tiene por qué ser cierto, como veremos más adelante).


Esta es una de las grandes aplicaciones de las derivadas. A través de ella podemos hallar los máximos y mínimos de una función. Algo que puede ser muy útil en problemas de lo más común. Por ejemplo, si conocemos la función de los costes de un determinado proceso de producción en función el número de trabajadores empleados podríamos calcular los costes mínimos y máximos a través de la derivada de la función. Las aplicaciones de las derivadas son inmensas.

Además, si lo pensamos, lo que estamos obteniendo viendo la función de la derivada, es nada más y nada menos que el crecimiento y decrecimiento de la función f(x).

Si observamos la imagen anterior de los diferentes tipos de pendientes, vemos que las rectas con pendiente positiva siempre se dirigen “hacia arriba”. De la misma forma, las de pendiente negativa siempre se dirigen “hacia abajo”. Puedes verlo muy claramente en este gif. Cuando la función es creciente, su recta tangente tiene una pendiente positiva (verde), y cuando es decreciente su recta tangente tiene una pendiente negativa (roja):

Por tanto, siempre que la pendiente de la recta tangente de f(x) en un punto sea positiva, la función será creciente, y siempre que sea negativa, será decreciente. Es decir, sabremos que siempre que la función f’(x) esté bajo el eje x, la función f(x) será decreciente, y siempre que esté por encima del eje x, será creciente.

En el caso de la función que estábamos tratando:

Por tanto, expresado matemáticamente:

Si f’(x) > 0 en un intervalo, f(x) es creciente en ese intervalo.

Si f’(x) < 0 en un intervalo, f(x) es decreciente en ese intervalo.

Si f’(x) = 0, posible máximo o mínimo. Para que sea un máximo o mínimo debemos comprobar que la función pasa de ser decreciente a creciente, o viceversa. Es decir, debemos comprobar el crecimiento y decrecimiento de la función a través de la derivada primera como hemos hecho hasta ahora.

La razón de esto último es muy sencilla. Podríamos tener una función que un determinado punto su recta tangente tuviera pendiente 0, pero que no pasara de ser creciente a decreciente, o viceversa. En ese caso la función continuaría subiendo o bajando, sin existir el máximo o mínimo. Por ejemplo, es el caso de la función f(x)=x3.

También es posible comprobar si un posible máximo o mínimo es tal a través de la derivada segunda, que nos permite hallar la concavidad y convexidad de la función, y por tanto, como veremos a continuación, a través de su signo podemos comprobar si ese punto es máximo, mínimo, o ninguno de los dos. Lo veremos a continuación.

 

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD, Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Así es, la segunda derivada también nos permite obtener más información sobre la función f(x).

Recordemos antes los conceptos de función cóncava y convexa. Una función es cóncava en un intervalo si, hablando coloquialmente, las rectas tangentes a la función en ese intervalo están situadas por encima de la gráfica de la función, en este caso podemos observar en la imagen que las pendientes de las rectas tangentes irán por tanto progresivamente disminuyendo durante el intervalo en el que la función sea cóncava. Y por el contrario, es convexa, si las rectas tangentes están situadas por debajo de la función, y por tanto las pendientes de dichas rectas tangentes durante el intervalo en el que la función es convexa irán progresivamente aumentando.

Y, por tanto, en el punto exacto en el que la función pase de cóncava a convexa, o viceversa, ¡las pendientes cambiarán el sentido de su crecimiento! Esto es importante recordarlo.

Este punto será el llamado punto de inflexión, el punto donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa. Es decir, para entendernos, el punto donde las rectas pasan de estar por debajo de la función a estar por encima. Por tanto, en un punto de inflexión, la pendiente cambia el sentido de su crecimiento: la pendiente pasa de aumentar a disminuir, o viceversa. Fíjate en la imagen:

En el punto de inflexión la recta tangente siempre se encontrará la parte derecha por encima de la función, y la parte izquierda por debajo, o viceversa.

Veamos ahora el gráfico con la función f(x), y su primera y segunda derivada representadas:

Lo primero que tenemos que tener en cuenta al observar esta gráfica es que, de la misma forma que anteriormente podíamos obtener el crecimiento y decrecimiento de f(x) observando su derivada, f’(x), también podremos obtener el crecimiento y decrecimiento de f’(x) observando su derivada, f’’(x).

Por tanto, si sabemos en qué intervalo exactamente f’’(x) es mayor que 0, y en este intervalo hemos visto que f’(x) es creciente, entonces, en dicho intervalo, las pendientes de las rectas tangentes de f(x) en los diferentes puntos están aumentando. Y si recordamos, ¡esto era lo que sucedía en el intervalo en el que la función era cóncava!

De igual manera, en el intervalo en el que f’’(x) sea menor que 0, sabremos que f’(x) será decreciente, y por tanto, las pendientes de las rectas tangentes de f(x) irán disminuyendo, ¡al igual que sucedía en el intervalo que la función era convexa!

Por tanto, una vez sabemos cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad, y habiendo definido anteriormente el punto de inflexión como aquel punto en el que la función pasa de cóncava a convexa, sabremos por tanto cuál o cuáles son los puntos de inflexión de la función. En el caso de nuestra función, sólo hay un punto en el que la función pasa de convexa a cóncava, por tanto este será el punto de inflexión. Además, como vemos en la gráfica, en un punto de inflexión la derivada segunda siempre cortará al eje x (es decir, será 0). Ojo, lo contrario, como veremos a continuación no tiene por qué ser cierto siempre.

Esto sucede porque, como habíamos visto antes al recordar los conceptos de concavidad y convexidad, en los puntos de inflexión la pendiente de la recta tangente cambia el sentido de su crecimiento: la pendiente pasa de aumentar a disminuir, o viceversa. Esto es justo lo que sucede en el punto en que f’’(x) es 0. Este número, el 0, nos está indicando la pendiente de la recta tangente a f’(x) en ese punto, que efectivamente es horizontal. Y a su vez, la función f’(x) nos está indicando cómo varía la pendiente de las rectas tangentes de f(x). Justo en ese momento, las pendientes de las rectas tangentes de f(x) pasan de ir aumentando, ya que f’(x) es creciente, a comenzar a bajar a partir de ese punto, donde f’(x) pasa a ser decreciente. Es decir, están cambiando el sentido de su crecimiento, que era la característica de los puntos de inflexión.

Por tanto, expresado matemáticamente, podemos decir que:

Si f’’(x) > 0, es decir, la función se encuentra por encima del eje x, la función f(x) es cóncava en ese intervalo.

Si f’’(x) < 0, es decir, la función se encuentra por debajo del eje x, la función f(x) es convexa en ese intervalo.

Si f’’(x) = 0, posible punto de inflexión. Para que sea punto de inflexión debemos comprobar que la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa. Es decir, debemos comprobar la concavidad y convexidad de la función a través de la derivada segunda como hemos hecho hasta ahora.

La razón de esto último es muy simple. Cuando f’’(x)=0, sabemos que en ese punto, la función f’(x) tiene un posible máximo o mínimo. Si efectivamente es máximo o mínimo, eso significará que en f(x) las pendientes de las rectas tangentes pasarán de aumentar a disminuir, o viceversa, y por tanto, tendremos un punto de inflexión. Pero si ese punto resulta no ser finalmente un máximo o mínimo, las pendientes continuarán creciendo o decreciendo, y por tanto ese punto no será un punto de inflexión.

Es el caso de lo que sucede, por ejemplo, en la función f(x)=x4/4. Observando la gráfica, en el punto en que f’’(x)=0, la función f’(x) no tiene máximo ni mínimo (era el caso que vimos anteriormente), y por tanto dicho punto en f(x) no será punto de inflexión.

 

Y al igual que a través del signo de la derivada segunda se podía comprobar si los posibles máximos y mínimos de una función lo eran o no lo eran (es decir, sabiendo si en dichos puntos la función era convexa -signo negativo- o cóncava -signo positivo-), a través del signo de la derivada tercera se puede comprobar si los posibles puntos de inflexión lo son o no lo son, siguiendo un razonamiento muy similar.

Y hasta aquí la entrada. Espero no haber cometido algún error tonto entre tanto f(x), f'(x), cóncava o convexa. Quizá he hablado demasiado, pero si he conseguido que alguien comprenda mejor la derivada, y porqué seguimos los pasos qué seguimos a la hora de resolver los problemas relacionados con ellas, es suficiente.

 

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