Las matemáticas de la Martingala en la ruleta

Hoy traigo un problema que me ha parecido muy interesante, y varias curiosidades matemáticas sobre la ruleta. Lo más interesante de la entrada, y apto para todo el mundo, es la simulación que he programado, en la que a partir de una cierta cantidad inicial de dinero, podemos jugar mediante el sistema de la Martingala, que explicaré a continuación, y ver hasta qué cantidad de dinero somos capaces de llegar (y con qué probabilidad).

Te recomiendo que leas la entrada (sí, merece la pena, aunque bueno, si la he escrito yo qué voy a decir), pero puedes ir directamente a ella aquí.

Jugaremos a una ruleta imaginaria, donde podremos apostar al rojo al negro. En nuestro juego la probabilidad de cada color será 0,5 (al contrario que en un casino, donde la probabilidad de rojo o negro siempre es menor, debido a la existencia del 0, casilla de color verde en la que la apuesta es para el casino).

Jugaremos utilizando la estrategia de la Martingala. Comenzamos apostando una unidad, si ganamos la apuesta, habremos ganado una unidad. Si perdemos, doblamos nuestra apuesta, y así sucesivamente hasta ganar y obtener nuestra unidad de beneficio, o hasta que no podamos doblar nuestra apuesta. En cuyo caso comenzaremos de nuevo la Martingala con el dinero restante.

Llamaremos x a la cantidad de dinero con el que jugaremos. Dicha cantidad será la cantidad máxima que podremos perder. Y llamaremos y a la cantidad de dinero a la que queremos llegar.

También, deberemos saber en todo momento cuál es la apuesta máxima que podemos hacer en cada momento. Siempre jugaremos hasta llegar a nuestra apuesta máxima.

Como en caso de perder, doblaremos la apuesta, la cantidad puesta en juego siempre será la suma de las primeras n potencias de 2. Dicha suma será igual a:

1+2+4+8… = (2^n)-1

Por tanto, en todo momento, la apuesta máxima que podemos hacer es el máximo valor de n que satisface la igualdad:

(2^n)-1<=capital

Por ejemplo, si tenemos 10€ podremos realizar 3 apuestas, ya que el valor máximo de n que satisface la anterior ecuación es n=3. Si sustituyéramos un valor de n superior, n=4 por ejemplo, ya no se cumpliría la ecuación.

También llamaremos racha ganadora, al conjunto de apuestas que nos hagan ganar una unidad de beneficio. Y racha perdedora, al conjunto de apuestas que nos llevarán a perder la mayor parte del capital y nos impedirá doblar la apuesta.

El juego, consistirá por tanto en iniciar la Martingala hasta obtener una ganancia de una unidad. En caso de llegar a una racha perdedora y no tener la posibilidad de doblar la apuesta, iniciaremos de nuevo el juego con la cantidad restante que dispongamos.

Por ejemplo, partiendo de un saldo inicial de 10 unidades podríamos obtener el siguiente resultado (jugamos al rojo):

Vemos como, cuando tenemos 13 unidades, nuestro número de apuestas máximas es 3, por lo que al haber obtenido 3 negros seguidos, no podremos seguir doblando nuestra apuesta y deberemos iniciar de nuevo la martingala con el dinero restante.

El problema que se plantea es el siguiente:

 

Dado una cantidad inicial de dinero x, ¿cuál sería la probabilidad de llegar a una cantidad y?

Teniendo en cuenta que, en el momento de que obtenemos una racha negativa y perdemos la mayoría del capital, aún nos queda cierto dinero para iniciar de nuevo la martingala e intentar recuperar lo perdido y llegar dicha cantidad y a la que queríamos llegar. Podemos verlo en la tabla de ejemplo anterior.

Por ejemplo, el caso más sencillo sería, ¿cuál es la probabilidad de, a partir de un capital de 100 unidades llegar a 101 unidades? Y un caso quizá más interesante, ¿cuál sería la probabilidad de, a partir de un capital de 100 unidades, llegar a 200 unidades (doblar la apuesta)?

Para facilitar los cálculos utilizaremos el caso de llegar de 10 a 20 unidades. Calcular la probabilidad de llegar a dichas 20 unidades sin haber obtenido ninguna racha negativa es sencillo:

Obtendremos el beneficio de 1 unidad siempre que no salgan n resultados (siendo n, si recordamos, el número de apuestas máximas que podremos realizar) de color negro seguidos que tendrá una probabilidad de:

(1-probabilidad n apuestas seguidas perdiendo)

Y necesitaremos que dicho suceso se produzca v veces, en este caso 10 veces, para lograr llegar a 20 unidades. Por tanto la probabilidad de llegar a dichas 20 unidades sin haber obtenido ninguna racha perdedora es sencillo:

 (1-probabilidad n apuestas seguidas perdiendo)^v

Debiendo tener en cuenta que las apuestas máximas pueden aumentar a medida que vamos ganando e incrementando nuestro saldo.

Por ejemplo en nuestro caso, la probabilidad de llegar a dichas 20 unidades sin haber obtenido ninguna racha negativa es sencillo. Cuando iniciamos con 10 unidades, podremos realizar 3 apuestas como máximo (1+2+4<=10), y si llegamos o superamos las 15 unidades podremos realizar 4 apuestas (1+2+4+8<=15). La probabilidad será por tanto:

(1-(1/2)^3)^5*(1-(1/2)^4)^5=0.37

Ahora bien, como decíamos antes en este caso no estamos teniendo en cuenta que podremos llegar en algún momento a una racha negativa que nos haga perder la mayoría del dinero, pero iniciar de nuevo la martingala y tener de nuevo ciertas probabilidades de llegar a la cantidad y.

Podríamos pensar que es un problema complicado de recursividad, pero lo interesante del problema está en la solución tan sencilla que tiene:

P(x, y)=x/y

En nuestro ejemplo, si partimos de un capital de 10 unidades, o 100 unidades, y queremos llegar a doblar nuestra apuesta, la probabilidad de lograrlo sería de 10/20=100/200=0.5. Si quisiéramos llegar de 100 unidades a 500, la probabilidad de lograrlo utilizando la Martingala sería de 100/500=1/5.

Dicha fórmula podemos deducirla sabiendo cuál es la esperanza matemática de la Martingala en nuestra ruleta ideal.

 

¿Cuál es la esperanza matemática de la Martingala?

La esperanza matemática podemos definirla como la cantidad que ganamos o perdemos a largo plazo en un determinado juego. En este caso, nuestra ganancia será de 1 unidad (1€, por ejemplo), y nuestra pérdida será de (2^n)-1 unidades, ya que será la suma de las apuestas que hemos realizado:

1+2+4+8+16… = (2^n)-1

Perderemos dicha parte de nuestro capital en el momento en que salgan un número n de rojos que nos impidan doblar nuestra apuesta. Por tanto, la probabilidad de perder será:

(1/2)^n

Y ganaremos nuestra unidad de beneficio con cualquier otra secuencia, por ejemplo, si nuestro número n de apuestas máximas fueran 4, ganaríamos nuestra unidad de beneficio con cualquiera de las secuencias que terminaran en el color que jugáramos (rojo en este caso): NNR, NNNR, R, NR, etc. Por tanto, la probabilidad de ganar será

1-(probabilidad racha perdedora) = 1-(1/2)^n

Por tanto, la esperanza matemática será:

Ganancia*P(Ganar)-Pérdida*P(Perder) = (1-(1/2)^n)*1 – ((1/2)^n)*(2^n-1)

Para cualquier valor de n, dicha esperanza matemática será 0. Es decir, a largo plazo, utilizando esta estrategia de la Martingala no perderíamos ni ganaríamos dinero, nos quedaríamos como estábamos. Esto sucede porque, como la probabilidad de obtener rojo y negro es exactamente 0.5, jugar en esta ruleta imaginaria, independientemente de la estrategia que utilicemos, siempre será un juego neutral en el que ni ganaremos ni perderemos dinero. Totalmente diferente a la ruleta de los casinos, en las que la probabilidad de obtener rojo o negro son menores que 0.5.

Como la esperanza matemática es 0 (a largo plazo ni ganamos ni perdemos dinero) la probabilidad de llegar a, por ejemplo, doblar nuestro capital en nuestra ruleta ideal, es 0.5. La mitad de las veces lo conseguiremos doblar, y la otra mitad no, siendo así la esperanza matemática 0.

Si comenzáramos con 100 unidades, la probabilidad de llegar por ejemplo a 500, siguiendo el mismo razonamiento, podríamos deducir que 1/5. 4 de cada 5 veces perderíamos 100 unidades, y 1 de cada 4 ganaríamos 400 unidades. A largo plazo ni ganaríamos ni perderíamos dinero, siendo así la esperanza matemática 0.

Esto hablando de nuestra ruleta ideal.

 

¿Cual sería la esperanza matemática de la ruleta de un casino?

Por el contrario, si calculáramos la esperanza matemática de una ruleta de casino convencional, en el que además de las 18 casillas rojas y 18 negras, se encuentra una casilla adicional verde con el número 0, que en caso de caer la bola en dicha casilla las ganancias son para el casino, la probabilidad de obtener rojo (o negro) sería: 18/37 = 48.6.

Es decir, en un 48.6% de los casos ganaríamos, y en un 51.4% de los casos perderíamos. Por tanto, la esperanza matemática real de la ruleta es:

Ganancia*P(Ganar)-Pérdida*P(Perder) = (1-(0.514)^n)*1 – ((0.514)^n)*(2^n-1) = -0.15

Como vemos, es negativa. Es decir, a largo plazo perderíamos dinero. Concretamente, a largo plazo, cada vez que jugáramos una racha, es decir, el conjunto de apuestas necesarias para conseguir nuestro beneficio o pérdida que nos impida doblar nuestra apuesta, estaríamos perdiendo 0.15€.

 

¿En qué consiste realmente la Martingala?

Cuando jugamos a la ruleta utilizando la estrategia de la Martingala para ganar una unidad de beneficio, partiendo de una cierta cantidad de dinero x, y un número de apuestas máximas que podemos realizar en función de dicha cantidad de dinero, realmente lo que estamos haciendo es apostar TODA nuestra cantidad de dinero x, a una apuesta de probabilidad igual a P(x, x+1), utilizando nuestra notación anterior.

Por ejemplo, si tuviéramos 100 unidades, y quisiéramos llegar a 101 unidades utilizando la Martingala, realmente lo que estamos haciendo es apostar 100 unidades a una apuesta con una probabilidad del 100/101 = 99.0099% de probabilidades de salir (en el caso de nuestra ruleta ideal. En la ruleta del casino en las que las probabilidades del rojo y negro son menores de 0.5, dicho tanto por ciento sería levemente menor). Lo más probable es que ganemos dicha unidad, pero para ello estamos arriesgando todo nuestro dinero (sin embargo, con la Martingala, como empezamos apostando cantidades muy pequeñas, no lo parece, ahí está el atractivo de la Martingala).

También podríamos observar, que cuanto mayor dinero arriesgáramos, mayor número de apuestas podríamos hacer doblando las cantidades, y por tanto, obviamente la probabilidad de ganar dicha unidad de beneficio sería mayor. Por ejemplo, partiendo de 1000 unidades, ganar una unidad más en nuestra ruleta ideal, tendría una probabilidad de: 1000/1001 = 99.9% (pero estamos arriesgando una cantidad mucho mayor).

Si nuestro objetivo es llegar de una cantidad x, a una cantidad y como planteábamos al comienzo, lo que realmente estaríamos realizando serían tantas apuestas como unidades de beneficio quisiéramos ganar, en las que arriesgamos en cada una de ellas todo nuestro dinero.

O lo que es lo mismo, una sola apuesta de probabilidad el producto de las apuestas anteriores. Que podemos hallar fácilmente mediante la fórmula P(x, y)=x/y obtenida anteriormente para nuestra ruleta ideal.

Por ejemplo, la probabilidad de doblar nuestra cantidad inicial de 100 unidades a 200 unidades sería en nuestra ruleta ideal de 50% (en la ruleta real levemente menor), que asimismo es el producto de cada una de las 100 apuestas que también podríamos haber realizado:

La primera de ellas con probabilidad de 100/101=99.0099%

La segunda con probabilidad de 101/102 = 99.0196%

Etc.

Y aquí viene lo interesante de la entrada (lo he dejado para el final eh…)

He creado una sencilla simulación de dicho juego (en el que, no olvidemos, la probabilidad del rojo y negro es 0.5, siendo así un juego neutral, nada que ver con el juego del casino). Puedes iniciar con una cantidad de dinero, y ver hasta qué cantidad lograrías llegar.

Ir a la simulación.

¿Cuál es la cantidad máxima a la que llegas jugando a la Martingala? A veces resulta sorprendente la cantidad a la que se llega.

 

Y a partir de una cierta cantidad x inicial, ¿cuál sería la probabilidad de lograr una cierta cantidad máxima de dinero?

Ahora mismo conocemos la probabilidad de llegar a cierto valor, pero posteriormente el juego continuaría y podríamos llegar a ganar más dinero (o perderlo).

Por ejemplo, conocemos la probabilidad de que, iniciando el juego con 10 unidades, llegar a 40 unidades. ¿Pero cuál sería la probabilidad de que la cantidad máxima a la que llegáramos fuera 40 unidades? (Es decir, después de lograr las 40 unidades deberíamos llegar a una racha perdedora y finalmente acabar arruinándonos).

Podemos calcular la probabilidad de conseguir una cierta cantidad máxima igual a y, que denotaremos de la siguiente forma:

P(max=y)

En primer lugar deberíamos llegar a dicha cantidad y. Hasta ahí llegaba el problema anterior. Ahora, sin embargo, queremos que nunca se llegue a una cantidad mayor, por tanto, podemos multiplicar la probabilidad anterior por la probabilidad de que NO se logre llegar de la cantidad y a la cantidad y+1:

Siguiendo la notación anterior:

P(x,y)*(1-P(y,y+1))

Por ejemplo, queremos conocer la probabilidad de, partiendo de un beneficio de 100 unidades, llegar a un máximo de 150, y que llamaremos P(max=150):

P(100,150)=P(x,y)=100/150

P(150,151)=150/151

P(max=150)= 100/150*(1-150/151)

Y partiendo de 100 unidades, podríamos ver qué probabilidad tendríamos de conseguir una cierta cantidad máxima. En este ejemplo, las probabilidades se distribuirían así:

Podemos ver que cuanto mayor sea el saldo, más improbable será llegar a él, siendo lo más probable (con una probabilidad de 0.0099, es decir, bastante improbable) perder la cantidad inicial sin ganar nada.

En definitiva me parece un problema más que interesante, sobre todo por la posibilidad de simular a partir de una cierta cantidad de dinero inicial a qué cantidad podríamos llegar utilizando el sistema de la Martingala (suponiendo, recordemos, que la probabilidad del rojo y negro son 0.5).

 

¿Si en nuestra ruleta ideal, la esperanza matemática es 0, y a largo plazo no deberíamos ganar ni perder dinero, por qué todas las simulaciones acaban en bancarrota?

Por una razón muy sencilla. Si la esperanza matemática es 0, sabemos que, si jugamos hasta una cierta cantidad, por ejemplo, partimos de 100 unidades y jugamos hasta conseguir 200 unidades, el 50% de las veces lo conseguiremos, y el otro 50% de las veces no. (Es decir, la mitad de veces perderíamos 100 unidades, y la otra mitad ganaríamos dichas 100. Nos quedaríamos a largo plazo igual).

Si jugáramos hasta conseguir 800 unidades, sabríamos que el 1/8 de las veces lo conseguiríamos, y las otras 7/8 de las veces no. (7 veces perderíamos 100 unidades, y 1 vez ganaríamos 700 unidades. Nos quedaríamos a largo plazo igual.)

Nuestra simulación continúa sin embargo hasta que llegamos a la bancarrota. Sin embargo esto no es realista. Aunque a primera vista siempre perdemos lo apostado, el dinero al que se puede llegar a partir de nuestros beneficios de una unidad no es infinito, al igual que en el sistema común de la martingala (si hubiera dinero infinito para doblar la apuesta, sería un sistema ganador, pero obviamente no lo hay). Siempre habrá un límite. Alguna vez llegaríamos a dicho límite, obteniendo un grandísimo beneficio que nos haría recuperar lo perdido anteriormente. Eso sí, para llegar hasta ese límite, dependiendo dónde se encuentre, podrían hacer falta millones y millones de partidas. Por lo que, aun existiendo una ruleta ideal como la que hemos imaginado, de esperanza matemática 0, no recomiendo jugar utilizando el sistema de nuestra simulación. 😉

 

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